Загадки природи і послідовність фібоначчі
послідовність Фібоначчі, відома всім по фільму "Код да Вінчі" - Ряд цифр, описаний у вигляді загадки Італійським математиком Леонардо Пізанським, більш відомим під прізвиськом Фібоначчі, в XIII столітті. Коротенько суть загадки:
Хтось помістив пару кроликів в якомусь замкнутому просторі, щоб дізнатися, скільки пар кроликів народиться при цьому протягом року, якщо природа кроликів така, що кожен місяць пара кроликів справляє на світло іншу пару, а здатність до виробництва потомства у них з`являється по досягненню двомісячного віку.
У підсумку виходить така послідовність: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, де через кому показано кількість пар кроликів в кожному з дванадцяти місяців. Цю послідовність можна продовжувати нескінченно довго. Її суть в тому, що кожне наступне число є сумою двох попередніх.
Відео: Числа і формула Фібоначчі
У цій послідовності є ряд математичних особливостей, яких обов`язково потрібно торкнутися. Дана послідовність асимптотично (наближаючись все повільніше і повільніше) прагне до деякого постійного співвідношенню. Однак, це співвідношення ірраціонально, тобто являє собою число з нескінченної, непередбачуваною послідовністю десяткових цифр у дробовій частині. Його неможливо виразити точно.
Так відношення будь-якого члена послідовності до попереднього йому коливається близько числа 1,618, через pаз то перевершуючи, то не досягаючи його. Ставлення до наступного аналогічно наближається до числа 0,618, що обернено пропорційно 1,618. Якщо ми будемо ділити елементи послідовності через одне, то отримаємо числа 2,618 і 0,382, які так само є обернено пропорційними. Це так звані коефіцієнти Фібоначчі.
До чого все це? Так ми наближаємося до одного з найзагадковіших явищ природи. Фібоначчі по суті не відчинив нічого нового, він просто нагадав світу про таке явище, як Золотий перетин, яке не поступається за значимістю теоремі Піфагора.
Всі навколишні нас предмети ми розрізняємо в тому числі і за формою. Якісь нам подобаються більше, якісь менше, деякі зовсім відштовхують погляд. Іноді інтерес може бути продиктований життєвою ситуацією, а часом красою спостережуваного об`єкта. Симетрична і пропорційна форма, сприяє найкращому зоровому сприйняттю і викликає відчуття краси і гармонії. Цілісний образ завжди складається з частин різного розміру, що знаходяться в певному співвідношенні один з одним і цілим. Золотий перетин - вищий прояв досконалості цілого і його частин в науці, мистецтві та природі.
Відео: Досконалість світу
Якщо на простому прикладі, то Золотий Перетин - це поділ відрізка на дві частини в такому співвідношенні, при якому велика частина відноситься до меншої, як їх сума (весь відрізок) до більшої.
Якщо ми приймемо весь відрізок c за 1, то відрізок a буде дорівнює 0,618, відрізок b - 0,382, тільки так буде дотримано умову Золотого Перетини (0,618 / 0,382 =1,618- 1 / 0,618 =1,618). ставлення c до a одно 2,618, а з до b 1,618. Це все ті ж, вже знайомі нам, коефіцієнти Фібоначчі.
Зрозуміло є золотий прямокутник, золотий трикутник і навіть золотий кубоід. Пропорції людського тіла в багатьох співвідношеннях близькі до золотого перетину.
Відео: Числа Фібоначчі
зображення: marcus-frings.de
Але найцікавіше починається, коли ми об`єднаємо отримані знання. На малюнку наочно показано зв`язок між послідовністю Фібоначчі і Золотим перетином. Ми починаємо з двох квадратів першого розміру. Зверху додаємо квадрат другого розміру. Підмальовували поруч квадрат зі стороною, яка дорівнює сумі сторін двох попередніх, третього розміру. За аналогією з`являється квадрат п`ятого розміру. І так далі поки не набридне, головне, щоб довжина сторони кожного наступного квадрата дорівнювала сумі довжин сторін двох попередніх. Ми бачимо серію прямокутників, довжини сторін, яких є числами Фібоначчі, і, що не дивно, вони називаються прямокутниками Фібоначчі.
Якщо ми проведемо плавну ліній через кути наших квадратів, то отримаємо ні що інше, як спіраль Архімеда, збільшення кроку якої завжди рівномірно.
Нічого не нагадує?
фото: ethanhein on Flickr
І не тільки в раковині молюска можна знайти спіралі Архімеда, а в багатьох кольорах і рослинах, просто вони не такі явні.
Алое багатолистий:
фото: brewbooks on Flickr
Броколі Романеско:
фото: beart.org.uk
Соняшник:
фото: esdrascalderan on Flickr
Соснова шишка:
фото: mandj98 on Flickr
А якщо поглянути трохи далі, то можна розгледіти послідовність Фібоначчі в недосяжних галактиках.
І тут саме час згадати про Золотому Перетині! Жодні чи з найпрекрасніших і гармонійних творінь природи зображені на цих фотографіях? І це далеко не все. Придивившись, можна знайти схожі закономірності в багатьох формах.
Звичайно заяву, що всі ці явище побудовані на послідовності Фібоначчі звучить занадто голосно, але тенденція на обличчя. Та й до того ж сама послідовність далека від досконалості, як і все в цьому світі.
Є припущення, що послідовність Фібоначчі - це спроба природи адаптуватися до більш фундаментальної і досконалої золотосечённой логарифмічною послідовності, яка практично така ж, тільки починається з нізвідки і йде в нікуди. Природі ж обов`язково потрібно якийсь ціле початок, від якого можна відштовхнутися, вона не може створити щось з нічого. Відносини перших членів послідовності Фібоначчі далекі від Золотого Перетини. Але чим далі ми просуваємося по ній, тим більше ці відхилення згладжуються. Для визначення будь-якій послідовності досить знати три її члена, що йдуть один за одним. Але тільки не для золотої послідовності, їй достатньо двох, вона є геометричній і арифметичною прогресією одночасно. Можна подумати, ніби вона основа для всіх інших послідовностей.
Кожен член золотий логарифмічною послідовності явлется ступенем Золотий Пропорції (z). Частина ряду виглядає приблизно так: ... z-5- z-4- z-3- z-2- z-1- z0- z1- z2- z3- z4- z5 ... Якщо ми округлимо значення Золотий пропорції до трьох знаків, то отримаємо z = 1,618, тоді ряд виглядає так: ... 0,090 0,146- 0,236- 0,382- 0,618- 1- 1,618- 2,618- 4,236- 6,854- 11,090 ... Кожен наступний член може бути отриманий не тільки множенням попереднього на 1,618, але і складанням двох попередніх. Таким чином експоненціальне зростання в послідовності забезпечується шляхом простого складання двох сусідніх елементів. Це ряд без початку і кінця, і саме на нього намагається бути схожою послідовність Фібоначчі. Маючи цілком певний початок, вона прагне до ідеалу, ніколи його не досягаючи. Таке життя.
І все-таки, в зв`язку з усім побаченим і прочитаним, виникають цілком закономірні запитання:
Від куди взялися ці числа? Хто цей архітектор всесвіту, який спробував зробити її ідеальною? Чи було колись все так, як він хотів? І якщо так, то чому збилося? Мутації? Вільний вибір? Що ж буде далі? Спіраль скручується або розкручується?
Знайшовши відповідь на одне питання, отримаєш наступний. Розгадаєш його, отримаєш два нових. Розберешся з ними, з`явиться ще три. Вирішивши і їх, обзаведёшься п`ятьма невирішеними. Потім вісьмома, потім тринадцятьма, 21, 34, 55 ...
